Aprender

Ejercicios:

1) Un electricista cobra $3 por hora de trabajo, y un plomero $1,2 por hora. ¿Cuántas horas deberá trabajar el plomero para ganar lo mismo que gana el electricista en 10 horas de trabajo?

A) 2 horas     B) 12 horas    C) 25 horas    D) 30 horas

    Electricista= $3 por hora             3 . 10 = 30

    Plomero= $1,2 por hora             1,2 . 25 = 30

   

    Opción 1 = 25 horas

2) Con un descuento del 20% el precio de liquidación de un artículo de cuero es de $220. ¿Cuál es el precio original del artículo?

A) $275    B) $264   C) $200    D) $176

220 - 20%                        Opción b = 264
x     - 100%

3) Juan y Rodrigo deciden ahorrar para comprarse una guitarra eléctrica. Si Juan reunió el triple de dinero que Rodrigo, y entre los dos reunieron $2040. ¿Cuál es el aporte de Rodrigo?

A) $2720    B) 1530   C) $680   D) $510

J + R = 2040

3x + x = 2040
 
    4x  = 2040
                                                   Opción d = 510
      x =  2040 : 4

      x = 510

Probabilidad

Es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %).

Ejercicios: 

1) Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}

La primera bola no se devuelve.

E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

2) En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

a) Sea hombre.

b) Sea mujer morena.

c) Sea hombre o mujer.

3) Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Geometría y Medida

Geometría:

Se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

 

Ejercicios:

1) Una tapa de zapatos que mide 38 cm de largo por 21 cm de ancho. Sacar su perímetro y su área

2) Un trapecio cuyas bases miden 12 y 15 cm y de altura mide 6 cm. Calcular su área

Al trazar el trapecio con las medidas conocidas, puedo saber la medida de su lado utilizando el Teorema de Pitágoras para obtener el  perímetro.

3) Obtener la longitud de un arco de circunferencia cúyo ángulo central mide 82° y su radio 3,41cm

𝛑= 3,14       L= 2 . 𝛑 . r

            

                   L= 2 . 3,14 . 3,41

                   L= 21,41 cm

A 360°  le corresponden 21,41cm ¿Cuánto le corresponde a 82°?

            360°          82°               x= 21,41 . 82

         21,41cm      x cm                        360

                                          

                                                  x= 1.755,62

                                                          360

                                                  x= 4.876cm

4) Hallar el perímetro y el área de un triángulo sabiendo que la base mide 6.8m y la altura 9.3m

 Sacamos la mitad de la base que es de 3, 4cm y realizamos el teorema de pitágoras 

                                 2       2      2

                               c   =  a   +  b

                                 2       2       2

                               c  = 3,4 + 9,3 

                                2

                               c  = 11,56 + 86, 49

                                2

                               c  = 98,05

                               c  = √98,05

                               c  =  9,90m

Obtengo el perímetro y el área del triangulo 

                             P= 1 + 2 (I)                          A= b . h

                                                                                  2

                             P= 6,8 + 2(9,90)                  A= 6,8 . 9,3

                                                                                    2

                             P= 6,8 + 19,80                     A= 63,24

                                                                                  2       2

                             P= 26,6m                              A= 31,62m

Funciones (II)

Función Cuadrática: 

El modelo de esta función es:

                                           2

                           F(x) = a.x  + b.x + c

Recibe este nombre porque un término esta elevado al cuadrado. Su dominio e imagen es |R 

Ejemplo:  

Ejercicios:

1) Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3

Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
  

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                          

El vértice  de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1.  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. 

Rango = [– 4 , + ∞ ) 

2)  Determinar Dominio y Rango de  f(x) = – x2 + 5x - 4

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                  

El vértice  está en (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a =( - 5 / 2(-1)) = 5/2 (o 2,5).  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(5/2) = -(5/2)2 + 5(5/2) – 4 = -25/4 + 25/2 - 4 = 9/4 = 2,25

Por lo tanto, el vértice está en el punto (2.5;  2,25).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) desde menos infinito y llega hasta el vértice de la parábola (hasta Y = 2,25).

Rango = [– ∞ , 2.25  ) 

3) Representa gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x - 3

1. y = −x² + 4x − 3

a) Vértice

x _v = − 4/ −2 = 2     y _v = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V(2, 1)

b) Puntos de corte con el eje OX.

x² − 4x + 3 = 0

       (3, 0)      (1, 0)

c) Punto de corte con el eje OY.

(0, −3)

4) Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:

a) y = x² + 2

b) y = x² − 2

c) y = (x + 2)²

d) y = (x − 2)²

e) y = (x − 2)² + 2

f) y = (x + 2)² − 2

y = x²

           y = x² + 2            y = x² − 2

           y = (x + 2)²       y = (x − 2)²

    y = (x − 2)² + 2          y = (x + 2)² − 2

Funciones (I)

Función Lineal:

Es una función polinómica de primer grado, cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Se puede escribir como:

                                               F(x) = MX+b

donde m y b son constantes reales,  y x es una variable real. La constante   es la pendiente de la recta, y  es el punto de corte de la recta con el eje . Si se modifica  entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica , entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Dominio e Imagen: El conjunto de partida o el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente (la llamada x), es el dominio de la función.

El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y o f(x)) y se llama imagen, rango o recorrido de la función, está incluido en el conjunto de llegada 

Ejemplo:

Ejercicios: a) Representar gráficamente las funciones:

1) y = 2

2) y = 2x − 1

3) y = ½x − 1

4) y = -¾x - 1

1) y = 2

2) y = 2x − 1

x	y = 2x − 1
0	−1
1	1

3) y = ½x - 1

x	y = ½x − 1
0	−1
2	0

4) y = -¾x - 1

x	y = -¾x − 1
0	−1
4	−4

 b) Representa las funciones con los datos dados:

1) Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.

2) Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).

3) Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).

4) En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo

5) Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

1) Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1.

y = -3x -1

x	y = −3x − 1
0	-1
1	−4

2) Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).

y = 4 x + n       2 = 4 · (−3) + n     n= 14

y = 4 x + 14

x	y = 4x + 14
0	14
1	18

3) Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).

5 = −m + n −5 = m − n

7 = 3m + n 7 = 3m + n 

2 = 4m m = ½ n = 11/2

y= ½x + 11/2

x	y = ½x + 11/2
0	11/2
1	6

4) Altura inicial = 2cm

Crecimiento semanal = 2.5 − 2 = 0.5

y= 0.5 x + 2

5) y = 0.3 x + 100

y = 0.3 · 300 + 100 = 190 €

Números Reales (V)

Circunferencia: Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro.

Radio: cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia. 

Ejercicios: 

1) La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

          r = 90 : 100 = 0.9m
   
          L = 2 · π · 0.9 = 5.65m

           5.65 · 100 = 565 m

2)Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto: 

 

Pi: π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

${\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979323846\;\dots }$

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidianas.

Números Reales (IV)

Área: permite asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud.

Ejercicios:

1) En la figura se tiene un cuadrado de lado l = 4 cm. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado l/3. 

Calcular el área de la región sombreada

a) Cálculo del área del cuadrado de l = 4 cm :

A= l2 = (4cm)2 = 16 cm2

b) Cálculo del área del cuadrado de lado l/3:

A? = 

c) Cálculo del área de la región sombreada

Área Sombreada= A- 4A? = 

Área Sombreada= 

2) Se tienen dos cuadrados: el cuadrado A y el cuadrado B:

Si el lado del cuadrado B mide la mitad del lado del cuadrado A, ¿el área del cuadrado B es la mitad del área del cuadrado A?

No, el área del cuadrado B es la cuarta parte del área del cuadrado A.

Si el lado de A mide $L$, el lado de B mide $L/2$. Por tanto, sus áreas son:

El cuadrado C cuya área es la mitad del cuadrado A es el de lado $L/\sqrt{2}$:

Perímetro: es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana.

Ejercicios:

Se tiene una cartulina cuadrada cuya área es igual a $36c{m}^2$. Si se corta la cartulina por una de sus diagonales, ¿cuánto vale la suma de los perímetros de los dos triángulos que se obtienen?

La hipotenusa del triángulo es la diagonal del cuadrado y sus catetos son los lados.
Calculamos el lado $L$ del cuadrado a partir de su área:

Por tanto, los catetos del triángulo miden 6cm cada uno.
Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa $h$ del triángulo rectángulo:

Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 8,49 centímetros.
El perímetro del triángulo es

Como los triángulos son iguales, la suma de sus perímetros es:

Raíz Cuadrada: la raíz cuadrada de un número x, es el número y que al ser multiplicado por sí mismo

Ejercicios: 

Indica si es verdadero o falso y justifica tu respuesta: 

a) √8.3 = √8 . √3

b) √9+6 = √9 + √6

c) √100-36 = √100 - √36

d) 3√125:8 = 3√125 : 3√8

e) 6√3√2 = 9√2

a) Verdadero: la multiplicación dentro de una raíz es igual que multiplicarla por separado

b) Falso: cuando esta sumando, no se pueden separar

c) Falso: cuando esta restando, no se puede separar

d) Verdadero: la división dentro de una raíz, es igual que dividirlo por separado

e) Falso: se multiplican los índices

Cuadro Mágico: tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma.

Ejercicios: 

A. Los cuatro cuadrados siguientes de orden tres son mágicos pero le faltan valores en algunas celdas. Completar con los números que faltan.

 

A.1.-Sumamos los elementos de la diagonal principal, 12 + 15 + 18 = 35; Por tanto, el número mágico es 35 en el primer cuadrado mágico.

La primera fila será: 12, 17, 35 - (12+17) = 6;

La segunda columna será:17, 15, 35 – (17 + 15) = 3;

La tercera columna será: 6, 35–(6+18) = 11, 18; 

La segunda fila es:35  - (15 + 11) = 9, 15, 11; 

La tercera fila será: 35 – (3 + 18) = 14, 3, 18; 

La diagonal secundaria será:14, 15, 6.