Estadística (III)

Parámetros Estadísticos:

Es un número que resume la gran cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadística.​ El cálculo de este número está bien definido

Ejercicios:

1) Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

                                          Xi         fi        Fi        Xi . fi

                                          2          2         2         4                                    Moda: 5

                                          3          2         4         6

                                          4          5         9         20                                  Mediana: 20/2=10  

                                          5          6        15        30                                  Me: 5

                                          6          2        17        12                                  Media: X = 96 = 4,8

                                          8          3        20        24                                                      20

                                                      20                   96

2) El número de libro leídos por los miembros de un círculo de lectores, a lo largo de un mes, viene dado por la siguiente tabla. Hallar la moda

                                   Número de libros Xi:     1       2        3       4     5      6      7     

                              Número de personas fi:      5      12     18     11    7      4      1

La moda es el valor con mayor frecuencia, por tanto:  5  3  libros

3) Al abrir la biblioteca del Centro Cultural de un pueblo, entren 11 personas cuya edad media es 32 años. Una hora más tarde, no había salido nadie y habían 7 personas más, siendo ahora 39 años la edad media. Entonces, entra un joven y la edad se reduce a 38 años. ¿Cuántos años tiene el joven?

Calculamos las sumas de las edades de las personas que hay en cada momento. De los incrementos de estas sumas se deduce la edad de la última persona que entra

           32   .   11  =  352              39  .  18  =  702               38  .  19  =  722

                                                      

                                                      722  -  702  =  20 años

4) Determina la mediana de la distribución:

                             Altura                Número de plantas              Fi

                               [0,5)                                3                             3

                               [5,10)                             6                              9

                               [10,15)                           7                             16

                               [15,20)                           4                              20

La mitad del número de datos es 20 = 10, luego la clase mediana es [10,15), ya que es la

                                                           2

primera cuya frecuencia acumulada supera ese valor. La mediana es la marca de esta clase: 

M - 12,5

Estadística (II)

Gráficos Estadísticas:

Tipo de representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos gráficos (líneas, vectores, superficies o símbolos). Existen varios tipos de gráficos:

• Gráfico Lineal: los valores se dividen en dos ejes cartesianos perpendiculares entre sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo, y es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para varias muestras en un diagrama.
• Gráfico de Barras: se usa cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene barras verticales que representan valores numérico. Una gráfica de barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical.
• Histograma: ilustrar muestras agrupadas en intervalos
• Gráfico Circular: permite ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total.
• Pictograma: imágenes que sirven para representar el comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población, utilizando símbolos de tamaño proporcional al dato representado

Ejercicios: 

1) Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

         fi

[38, 44) 7

[44, 50) 8

[50, 56) 15

[56, 62) 25

[62, 68) 18

[68, 74) 9

[74, 80) 6

Dibujar el histograma

                                         

1) El gráfico muestra la distribución de los gastos de un hogar.

1. ¿Cuántos grados corresponderán al sector alimentación?

   A) 135°         B) 120°           C) 144°         D) 90°

2. Si la familia realizó un gasto de $ 840 en alimentación, ¿cuál fue el gasto en luz?

  A) $ 210            B) $ 420       C) $ 350            D) $ 120

1-    360° ---------- 100%                  X= 360° .  40%

          X   ----------  40%                             100%

                                                            X=  36°  .  4

                                                            X=    144°

2- El gráfico muestra la producción (en toneladas) de arroz y cebada, en tres meses del año:

       

1. ¿En qué porcentaje aproximadamente desciende la producción de arroz entre febrero y  marzo?
    A) 40%             B) 25%          C) 33%             D) 45%


2. ¿Qué parte de la producción total de arroz representa la producción del mes de febrero?
    A) 27,1%          B) 25%             C) 32%             D) 33,3%


                                                          1
1-  15tn - 5 ⇾ 10tn                     X=  5  .  100% =   100%
                                                               15                 3
      15tn ---------- 100%                            3
       5tn  ----------   X                X=  33,3%

                                                                                  1
                                                                                    3
2-    Parte   .   100% =            15            .    100%  =   15     .   100%   =   100%  =   33,3%
       Total                       (20 + 15 + 10)                        45                             3
                                                                                         9
                                            

Distribución de Frecuencias: 

Son tablas en que se dispone las modalidades de la variable por filas. En las columnas se dispone el número de ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La finalidad de las agrupaciones en frecuencias es facilitar la obtención de la información que contienen los datos.

Ejercicios: 

1) Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

Construir la tabla de distribución de frecuencias

                                   Xi          fi          Fi         ni          Ni
                                   0           1           1       0.02      0.02
                                   1           1           2       0.02      0.04
                                   2           2           4       0.04      0.08
                                   3           3           7       0.06      0.14
                                   4           6          13      0.12      0.26
                                   5          11         24      0.22      0.48
                                   6          12         36      0.24      0.72
                                   7           7          43      0.14      0.86
                                   8           4          47      0.08      0.94
                                   9           2          44      0.04      0.92
                                  10          1          50      0.02      1.00
                                                            50                    1.00     

 

             

X1         N1

0            2

1            4

2          21

3          15

4            6

5            1

6            1

50

Estadística (I)

Estadística:

La estadística matemática trata de la obtención de información a partir de los datos. En la práctica tales datos contienen cierta aleatoriedad o incertidumbre. La estadística trabaja con estos datos usando los métodos de la teoría de la probabilidad

Estadística Descriptiva: 

Es la parte que se encarga de describir los datos, esto es, de realizar un resumen y describir sus propiedades típicas.

Estadística Indiferencia:

Es la parte que elabora conclusiones a partir de una muestra de los datos, en otras palabras, comprueba el ajuste de los datos a determinadas condiciones y proporciona una medida de la bondad de los mismos en términos probabilísticos.

Estadística Aplicada: 

Área de la estadística que se ocupa de inferir resultados sobre una población (es el conjunto de individuos, objetos o fenómenos de los cuales se desea estudiar una o varias características) a partir de una o varias muestras (una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población) 

Variable Estadística:

Característica que puede fluctuar y cuya variación es susceptible de adoptar diferentes valores, los cuales pueden medirse u observarse. Las variables adquieren valor cuando se relacionan con otras variables, es decir, si forman parte de una hipótesis o de una teoría. En este caso se las denomina constructos o construcciones hipotéticas.

Existen diferentes tipos de variables: -Cualitativa Nominal -Cualitativa Ordinal -Cuantitativa Continua -Cuantitativa Discreta

Variables Cualitativas:

Expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta 

se denomina atributo o categoría, y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles, como sí y no, hombre y mujer o ser politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

• Variable cualitativa ordinal o variable casi cuantitativa: puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte.
• Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden, como por ejemplo los colores.

Variables Cuantitativas:

Son las variables que toman como argumento cantidades numéricas, son variables matemáticas. Las variables cuantitativas además pueden ser:

• Variable discreta: presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).
• Variable continúa: puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que exista un valor entre dos variables.

Ejercicios: 

1) Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

a- Comida Favorita.

b- Profesión que te gusta.

c- Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

d- Número de alumnos de tu Instituto.

e- El color de los ojos de tus compañeros de clase.

f- Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

Solución:

a- Cualitativa

b- Cualitativa

c- Cuantitativa

d- Cuantitativa

e- Cualitativa

f- Cuantitativa


2) De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

a- Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

b- Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

c- Período de duración de un automóvil.

d- El diámetro de las ruedas de varios coches.

e- Número de hijos de 50 familias.

f- Censo anual de los españoles.

Solución:

a- Discreta

b- Continua

c- Continua

d- Continua

e- Discreta

f- Discreta


3) Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.

a- La nacionalidad de una persona.

b- Número de litros de agua contenidos en un depósito.

c- Número de libros en un estante de librería.

d- Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

e- La profesión de una persona.

f- El área de las distintas baldosas de un edificio.

Solución:

a- Cualitativa

b- Cuantitativa Continua

c- Cuantitativa Discreta

d- Cuantitativa Discreta

e- Cualitativa

f- Cuantitativa Continua 


4) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a- Para realizar un estudio estadístico se debe investigar a toda la población objeto de estudio= Falso

b- La propiedad o característica de la población que queremos estudiar se denomina variable estadística= Verdadero

c-  Una muestra es una parte de la población que se desea estudiar= Verdadero

.

Aprender

Ejercicios:

1) Un electricista cobra $3 por hora de trabajo, y un plomero $1,2 por hora. ¿Cuántas horas deberá trabajar el plomero para ganar lo mismo que gana el electricista en 10 horas de trabajo?

A) 2 horas     B) 12 horas    C) 25 horas    D) 30 horas

    Electricista= $3 por hora             3 . 10 = 30

    Plomero= $1,2 por hora             1,2 . 25 = 30

   

    Opción 1 = 25 horas

2) Con un descuento del 20% el precio de liquidación de un artículo de cuero es de $220. ¿Cuál es el precio original del artículo?

A) $275    B) $264   C) $200    D) $176

220 - 20%                        Opción b = 264
x     - 100%

3) Juan y Rodrigo deciden ahorrar para comprarse una guitarra eléctrica. Si Juan reunió el triple de dinero que Rodrigo, y entre los dos reunieron $2040. ¿Cuál es el aporte de Rodrigo?

A) $2720    B) 1530   C) $680   D) $510

J + R = 2040

3x + x = 2040
 
    4x  = 2040
                                                   Opción d = 510
      x =  2040 : 4

      x = 510

Probabilidad

Es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %).

Ejercicios: 

1) Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}

La primera bola no se devuelve.

E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

2) En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

a) Sea hombre.

b) Sea mujer morena.

c) Sea hombre o mujer.

3) Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Geometría y Medida

Geometría:

Se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

 

Ejercicios:

1) Una tapa de zapatos que mide 38 cm de largo por 21 cm de ancho. Sacar su perímetro y su área

2) Un trapecio cuyas bases miden 12 y 15 cm y de altura mide 6 cm. Calcular su área

Al trazar el trapecio con las medidas conocidas, puedo saber la medida de su lado utilizando el Teorema de Pitágoras para obtener el  perímetro.

3) Obtener la longitud de un arco de circunferencia cúyo ángulo central mide 82° y su radio 3,41cm

𝛑= 3,14       L= 2 . 𝛑 . r

            

                   L= 2 . 3,14 . 3,41

                   L= 21,41 cm

A 360°  le corresponden 21,41cm ¿Cuánto le corresponde a 82°?

            360°          82°               x= 21,41 . 82

         21,41cm      x cm                        360

                                          

                                                  x= 1.755,62

                                                          360

                                                  x= 4.876cm

4) Hallar el perímetro y el área de un triángulo sabiendo que la base mide 6.8m y la altura 9.3m

 Sacamos la mitad de la base que es de 3, 4cm y realizamos el teorema de pitágoras 

                                 2       2      2

                               c   =  a   +  b

                                 2       2       2

                               c  = 3,4 + 9,3 

                                2

                               c  = 11,56 + 86, 49

                                2

                               c  = 98,05

                               c  = √98,05

                               c  =  9,90m

Obtengo el perímetro y el área del triangulo 

                             P= 1 + 2 (I)                          A= b . h

                                                                                  2

                             P= 6,8 + 2(9,90)                  A= 6,8 . 9,3

                                                                                    2

                             P= 6,8 + 19,80                     A= 63,24

                                                                                  2       2

                             P= 26,6m                              A= 31,62m

Funciones (II)

Función Cuadrática: 

El modelo de esta función es:

                                           2

                           F(x) = a.x  + b.x + c

Recibe este nombre porque un término esta elevado al cuadrado. Su dominio e imagen es |R 

Ejemplo:  

Ejercicios:

1) Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3

Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
  

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                          

El vértice  de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1.  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. 

Rango = [– 4 , + ∞ ) 

2)  Determinar Dominio y Rango de  f(x) = – x2 + 5x - 4

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

                  

El vértice  está en (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a =( - 5 / 2(-1)) = 5/2 (o 2,5).  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(5/2) = -(5/2)2 + 5(5/2) – 4 = -25/4 + 25/2 - 4 = 9/4 = 2,25

Por lo tanto, el vértice está en el punto (2.5;  2,25).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) desde menos infinito y llega hasta el vértice de la parábola (hasta Y = 2,25).

Rango = [– ∞ , 2.25  ) 

3) Representa gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x - 3

1. y = −x² + 4x − 3

a) Vértice

x _v = − 4/ −2 = 2     y _v = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V(2, 1)

b) Puntos de corte con el eje OX.

x² − 4x + 3 = 0

       (3, 0)      (1, 0)

c) Punto de corte con el eje OY.

(0, −3)

4) Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa:

a) y = x² + 2

b) y = x² − 2

c) y = (x + 2)²

d) y = (x − 2)²

e) y = (x − 2)² + 2

f) y = (x + 2)² − 2

y = x²

           y = x² + 2            y = x² − 2

           y = (x + 2)²       y = (x − 2)²

    y = (x − 2)² + 2          y = (x + 2)² − 2